Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.

Пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена [math]\displaystyle{ P }[/math] меньше степени многочлена [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Будем полагать, что степень многочлена [math]\displaystyle{ Q }[/math] равна [math]\displaystyle{ n }[/math], коэффициент при старшем члене многочлена [math]\displaystyle{ Q }[/math] равен 1, а [math]\displaystyle{ z_k }[/math], [math]\displaystyle{ k \le n }[/math] ― различные корни многочлена [math]\displaystyle{ Q }[/math] с кратностями [math]\displaystyle{ \alpha_k\ge 1 }[/math], соответственно. Отсюда имеем

[math]\displaystyle{ Q(z) = (z-z_1)^{\alpha_1}(z-z_2)^{\alpha_2}..(z-z_k)^{\alpha_k}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_k=n, }[/math]

Функция [math]\displaystyle{ P/Q }[/math] представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей

[math]\displaystyle{ \frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{\alpha_i}\frac {A_{i,j}}{(z-z_i)^j}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A_{i,j} }[/math] ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно [math]\displaystyle{ n }[/math]). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно [math]\displaystyle{ A_{i,j} }[/math].

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если [math]\displaystyle{ Q }[/math] имеет только некратные корни [math]\displaystyle{ z_k }[/math], [math]\displaystyle{ k=1,...,n }[/math], т.е. все [math]\displaystyle{ \alpha_k=1 }[/math] и

[math]\displaystyle{ \frac{P(z)}{Q(z)}=\sum_{i=1}^n\frac {A_{i}}{z-z_i}. }[/math]

После умножения на [math]\displaystyle{ z-z_k }[/math] последнего равенства и подстановки [math]\displaystyle{ z = z_k }[/math] непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

[math]\displaystyle{ A_k = \frac{P(z_k)}{\prod\limits_{i\neq k}(z_k-z_i)}, \quad k=1,...,n. }[/math].

Интегрирование

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида

[math]\displaystyle{ {P_{n}(x)\over\sqrt{ax^2+bx+c}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_{n}(x) }[/math] многочлен степени n. Тогда

[math]\displaystyle{ \int{P_{n}(x)\over\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=P_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int {dx\over\sqrt{ax^2+bx+c}}. }[/math]

После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена [math]\displaystyle{ P_{n-1}(x) }[/math] степени n-1, а также [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Обращение ряда

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], не равная нулю при [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] разложена в ряд Маклорена:

[math]\displaystyle{ f(x)=a_1 x + a_2 x^2 + \ldots, }[/math]

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

[math]\displaystyle{ 1/f(x)=b_1 x + b_2 x^2 + \ldots, }[/math]

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

[math]\displaystyle{ g(x)=c_1 x + c_2 x^2 + \ldots, }[/math]

При этом используется соотношение [math]\displaystyle{ g(f(x))=x }[/math], то есть весь ряд для [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] подставляется вместо [math]\displaystyle{ x }[/math] в ряд для [math]\displaystyle{ g(x) }[/math].

Сумма степеней

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^k }[/math]. Будем искать ответ в виде многочлена [math]\displaystyle{ k+1 }[/math]-ой степени от [math]\displaystyle{ n }[/math]. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^3 }[/math] в виде [math]\displaystyle{ p(n) = a n^4+b n^3 +c n^2+d n +e }[/math].

По определению [math]\displaystyle{ p(n)-p(n-1)=n^3 }[/math], а также [math]\displaystyle{ p(1)=1 }[/math]. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 4 a-1=0\\ -6a+3b=0\\ 4 a - 3 b + 2 c = 0\\ -a + b - c + d =0\\ a+b+c+d+e=1 \end{cases}, }[/math]

откуда получаем ответ: [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^3=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} }[/math]

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения [math]\displaystyle{ \Delta p(n)=n^3 }[/math], здесь же ищется решение уравнения [math]\displaystyle{ a_n f^{(n)}(x)+\ldots + a_2 f''(x)+a_1 f'(x)+a_0 f(x)=g(x) }[/math].

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Ссылки

• Интересные примеры: разложение дроби